Меню

Взаимно обратные функции методическая разработка по алгебре 10 класс на тему

Тест. Взаимно обратные функции

Avatar

Список вопросов теста

Вопрос 1

Как называют функция y = f(х), если она принимает каждое своё значение только при одном значении х?

Варианты ответов
  • обратной
  • обратимой
  • взаимно обратной
Вопрос 2

Найдите функцию, обратную к функции у = 10х — 4

Варианты ответов
  • у = 0,1(х — 4)
  • у = 0,1(х + 4)
  • у = 0,1(х — 0,4)
Вопрос 3

Является ли монотонная функция обратимой?

Варианты ответов
  • является
  • не является
Вопрос 4

Укажите, какие из перечисленных функций являются обратимыми?

Варианты ответов
Вопрос 5

Укажите истинные утверждения.
Если g(x) — функция, обратная к функции f(x), то и f(x) — функция, обратная к g(x), при этом .

Варианты ответов
  • область определения обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции
  • множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции
  • область определения обратной функции совпадает с областью определения исходной функции
  • множество значений обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции
Вопрос 6

Найдите область значений функции, обратной для f(x) = 4 — 3x

Источник



Взаимно обратные функции
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Мореншильдт Ирина Кирилловна

Презентация по теме «Взиамно обратные функции», опорный конспект, тесты для проверки знаний учащихся.

Скачать:

Вложение Размер
Взаимно обратные функции 409 КБ
Опорный конспект 70.5 КБ
Тест по теме «Взаимно обратные функции» 71 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Выполнила Мореншильдт И.К. группа 1.45.36 Фрунзенский район Школа № 314 Преподаватель Королева О.П. Санкт-Петербург 2006г. * Санкт-Петербургский ЦЕНТР ИНФОРМАЦИОННЫХ технологий и телекоммуникаций ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ

Показательная и логарифмическая функция Тригонометрические функции

Основные определения Пример уравнений Графики обратных функций Показательная и логарифмическая функция Функции синус и арксинус Функции косинус и арккосинус Функции тангенс и арктангенс Функции котангенс и арккотангенс Зачет Источники Содержание Закончить

Обратимая функция Если функция y=f (x) принимает каждое свое значение только при одном значении х , то эту функцию называют обратимой. Для такой функции можно выразить обратную зависимость значений аргумента от значений функции.

Пример построения функции, обратной данной Частный случай Дана функция у=3х+5 Уравнение относительно х Заменим х на у Функции (1) и (2) взаимно обратные Общий случай y=f (x) – обратимая функция Определена функция x= g (y) Заменим х на у у= g(x) Функции y=f (x) и у= g(x) взаимно обратные

Графики обратных функций ООФ ОЗФ ОЗФ ООФ Х У Х Y

Показательная и логарифмическая функции y=log a x y=a x y=x a>1

Функции sin x и arcsin x Рассмотрим функцию y=sin x на отрезке Функция монотонно возрастает. ОЗФ [-1;1]. Функция у= arcsin x является обратной для функции y=sinx . [ —  ;  ] 2 2

Функции cos x и arccos x Рассмотрим функцию у=со s x на отрезке [0;  ] Функция монотонно убывает. ОЗФ [-1;1]. Функция y=arccos x является обратной для функции у=со sx .

Функции tg x и arctg x Рассмотрим фун-кцию y= tg x на ин- тервале Функция монотонно возрастает. ОЗФ – множество R . Функция y= arctg x является обратной для функции y= tg x . ( —  ;  ) 2 2

Функции ctg x и arcctg x Рассмотрим функцию y= ctg x на промежутке (0;  ). Функция монотонно убывает . ОЗФ множество R . Обратной является функция у = arcctg x.

Зачет по теме «Взаимно обратные функции» Вопрос № 1 Вопрос № 2 Вопрос № 3 Вопрос № 4 Вопрос № 5 Закончить Закончить

Вопрос № 1 Графики взаимно обратных функций расположены в системе координат симметрично относительно: Начала координат Прямой у=х Оси OY Оси OX

Вопрос № 2 Как связанны область определения исходной и область значений обратной функции? Совпадают Независимы

Вопрос № 3 Какая функция является обратной к логарифмической функции? Степенная Линейная Квадратичная Показательная

Вопрос № 4 Функция y=arcctg x является обратной для функции y=sin x y= tg x y= ctg x y= cos x

Вопрос № 5 Тема «Взаимно обратные функции» является Элементарной Моей любимой Легкой Понятной

Ура! Ура! Ура! Молодец, ученый!

Ответ неверный Повтори с начала!

Неверно! Я возмущен твоим ответом!

Источники Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2004. – 384 с. Изучение алгебры и начал анализа в 10-11 классах: Кн. для учителя / Н.Е. Федорова, М.В. Ткачева. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 2004. – 205 с. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса: Пособие для учителя / Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – 2-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 1998. -143 с. Графики обратных тригонометрических функций http://chernovskoe.narod.ru/tema13.htm

Предварительный просмотр:

  1. Определение арксинуса числа. Арксинусом числа называется такое число , синус которого равен а :
  1. Функция y=arcsin x является обратной к функции y=sin x на отрезке .

Свойства функции y=arcsin x :

  1. Определение арккосинуса числа . Арккосинусом числа называется такое число , косинус которого равен а .
  1. Функция y=arccos x является обратной к функции y=cos x на отрезке .

Свойства функции y=arccos x :

  1. Определение арктангенса числа. Арктангенсом числа называется такое число , тангенс которого равен а :
  1. Функция y=arctg x является обратной к функции y=tg x на интервале .

Свойства функции y=arctg x :

  1. Определение арккотангенса числа. Арккотангенсом числа называется такое число , котангенс которого равен а :
  1. Функция y=arcctg x является обратной к функции y=ctg x на интервале .

Источник

Тест. Взаимно обратные функции

Avatar

Список вопросов теста

Вопрос 1

Как называют функция y = f(х), если она принимает каждое своё значение только при одном значении х?

Вопрос 2

Найдите функцию, обратную к функции у = 5х + 2.

Варианты ответов
  • у = 0,2 (х — 2)
  • у = 0,5 (х — 2)
  • у = 0,2 (2 + х)
Вопрос 3

Является ли монотонная функция обратимой?

Варианты ответов
  • является
  • не является
Вопрос 4

Укажите, какие из перечисленных функций являются обратимыми.

Варианты ответов
Вопрос 5

Укажите истинные утверждения.
Если g(x) — функция, обратная к функции f(x), то и f(x) — функция, обратная к g(x), при этом .

Варианты ответов
  • область определения обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции
  • множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции
  • область определения обратной функции совпадает с областью определения исходной функции
  • множество значений обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции
Вопрос 6

Найдите область значений функции, обратной для f(x) = 4 — 3x.

Варианты ответов
  • (-∞;+∞)
  • (0;+∞)
  • (-∞;4)
  • [3;4]
  • [-4;-3]
Вопрос 7

Найдите область определения и область значения функции, обратной данной у = 7х — 5.

Варианты ответов
  • D(y) = (-∞;+∞)
  • E(y) = (-∞;+∞)
  • D(y) = (-5;+∞)
  • E(y) = (-∞;5)
  • D(y) = (-7;+∞)
  • E(y) = (-5;7)
Вопрос 8

Укажите номер рисунка, на котором изображен график обратной функции к функции у = х 2 , при х є [0;+∞).

Источник

Взаимно обратные функции, основные определения, свойства, графики

Понятие обратной функции

Допустим, что у нас есть некая функция y = f ( x ) , которая является строго монотонной (убывающей или возрастающей) и непрерывной на области определения x ∈ a ; b ; область ее значений y ∈ c ; d , а на интервале c ; d при этом у нас будет определена функция x = g ( y ) с областью значений a ; b . Вторая функция также будет непрерывной и строго монотонной. По отношению к y = f ( x ) она будет обратной функцией. То есть мы можем говорить об обратной функции x = g ( y ) тогда, когда y = f ( x ) на заданном интервале будет либо убывать, либо возрастать.

Две этих функции, f и g , будут взаимно обратными.

Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?

Это нужно нам для решения уравнений y = f ( x ) , которые записываются как раз с помощью этих выражений.

Нахождение взаимно обратных функций

Допустим, нам нужно найти решение уравнения cos ( x ) = 1 3 . Его решениями будут все точки: x = ± a rс c o s 1 3 + 2 π · k , k ∈ Z

Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.

Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным.

Условие: какая функция будет обратной для y = 3 x + 2 ?

Решение

Область определений и область значений функции, заданной в условии, – это множество всех действительных чисел. Попробуем решить данное уравнение через x , то есть выразив x через y .

Мы получим x = 1 3 y — 2 3 . Это и есть нужная нам обратная функция, но y здесь будет аргументом, а x — функцией. Переставим их, чтобы получить более привычную форму записи:

Ответ: функция y = 1 3 x — 2 3 будет обратной для y = 3 x + 2 .

Обе взаимно обратные функции можно отобразить на графике следующим образом:

Мы видим симметричность обоих графиков относительно y = x . Эта прямая является биссектрисой первого и третьего квадрантов. Получилось доказательство одного из свойств взаимно обратных функций, о котором мы поговорим далее.

Возьмем пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.

Условие: определите, какая функция будет обратной для y = 2 x .

Решение

Для заданной функции областью определения являются все действительные числа. Область значений лежит в интервале 0 ; + ∞ . Теперь нам нужно выразить x через y , то есть решить указанное уравнение через x . Мы получаем x = log 2 y . Переставим переменные и получим y = log 2 x .

В итоге у нас вышли показательная и логарифмическая функции, которые будут взаимно обратными друг другу на всей области определения.

Ответ: y = log 2 x .

На графике обе функции будут выглядеть так:

Основные свойства взаимно обратных функций

В этом пункте мы перечислим основные свойства функций y = f ( x ) и x = g ( y ) , являющихся взаимно обратными.

  1. Первое свойство мы уже вывели ранее: y = f ( g ( y ) ) и x = g ( f ( x ) ) .
  2. Второе свойство вытекает из первого: область определения y = f ( x ) будет совпадать с областью значений обратной функции x = g ( y ) , и наоборот.
  3. Графики функций, являющихся обратными, будут симметричными относительно y = x .
  4. Если y = f ( x ) является возрастающей, то и x = g ( y ) будет возрастать, а если y = f ( x ) убывает, то убывает и x = g ( y ) .

Советуем внимательно отнестись к понятиям области определения и области значения функций и никогда их не путать. Допустим, что у нас есть две взаимно обратные функции y = f ( x ) = a x и x = g ( y ) = log a y . Согласно первому свойству, y = f ( g ( y ) ) = a log a y . Данное равенство будет верным только в случае положительных значений y , а для отрицательных логарифм не определен, поэтому не спешите записывать, что a log a y = y . Обязательно проверьте и добавьте, что это верно только при положительном y .

А вот равенство x = f ( g ( x ) ) = log a a x = x будет верным при любых действительных значениях x .

Не забывайте про этот момент, особенно если приходится работать с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями. Так, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3 , потому что область значений арксинуса — π 2 ; π 2 и 7 π 3 в нее не входит. Верной будет запись

a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = п о ф о р м у л е п р и в и д е н и я = a r c sin sin π 3 = π 3

А вот sin a r c sin 1 3 = 1 3 – верное равенство, т.е. sin ( a r c sin x ) = x при x ∈ — 1 ; 1 и a r c sin ( sin x ) = x при x ∈ — π 2 ; π 2 . Всегда будьте внимательны с областью значений и областью определений обратных функций!

Графики взаимно обратных функций

  • Основные взаимно обратные функции: степенные

Если у нас есть степенная функция y = x a , то при x > 0 степенная функция x = y 1 a также будет обратной ей. Заменим буквы и получим соответственно y = x a и x = y 1 a .

На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):

  • Основные взаимно обратные функции: показательные и логарифмические

Возьмем a,которое будет положительным числом, не равным 1 .

Графики для функций с a > 1 и a 1 будут выглядеть так:

  • Основные взаимно обратные функции: тригонометрические и обратные тригонометрические

Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью):

График главной ветви косинуса и арккосинуса выглядит так:

График главной ветви арктангенса и тангенса:

График главной ветви арккотангенса и котангенса будет таким:

Если же вам требуется построить обратные ветви, отличные от главных, то обратную тригонометрическую функцию при этом мы сдвигаем вдоль оси O y на нужное число периодов. Так, если требуется обратная функция для ветви тангенса на π 2 ; 3 π 2 , то мы можем сдвинуть ее на величину π вдоль оси абсцисс. График будет представлять собой ветвь арктангенса, которая сдвинута на π вдоль оси ординат.

Это все свойства обратных функций, о которых мы хотели бы вам рассказать.

Источник

Читайте также:  Оборудование для жидкостной цитологии
Adblock
detector