Меню

Задачи Смаллиана Образцы решения

Тесты про рыцарей и лжецов

Предмет математики настолько серьезен,

что нужно не упускать случая делать его

немного занимательным.

Занимательная математика – это направление в математике, проявляющееся в большей степени в рамках досуга, развлечения и самообразования. Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, ошибочного рассуждения или обычной математической задачи с «секретом» – каким-либо неожиданным или забавным поворотом мысли.

Задачи о рыцарях и лжецах – разновидность увлекательных математических задач, в которых фигурируют персонажи:

Лжец (плут, вампир, сумасшедший, оборотень) – человек, всегда говорящий ложь.

Рыцарь (человек, поступающий правдиво и правильно, правдец) – человек, всегда говорящий правду.

Решение подобных задач обычно сводится к перебору вариантов с исключением тех, которые приводят к противоречию.

Существуют задачи с тремя типами персонажей – рыцари, лжецы и нормальные люди (вариант – шпионы). Последние могут как лгать, так и говорить правду.

С задачами про рыцарей и лжецов я познакомился при подготовке к олимпиаде по математике. Это не простые, но веселые, увлекательные задачи. Они учат логически рассуждать и нестандартно мыслить. На уроках математики подобные задачи мы не решали и мне стало интересно, а знают ли о таких задачах мои одноклассники? Справятся ли с их решением? Узнать об этом я решил с помощью исследования, и назвал я его «Остров рыцарей и лжецов».

Актуальность изучения темы моей работы вижу в том, что решение логических задач способствует развитию у учеников интереса к математике, разностороннему раскрытию способностей школьников, умению самостоятельно организовать своё свободное время.

Цель моего исследования – повышение интереса к предмету математика у моих одноклассников, показать им, что решение логических задач в математике – это увлекательно.

Задачи моей исследовательской работы:

— рассмотреть задачи про рыцарей и лжецов и способы их решения;

— изучить интерес моих одноклассников к решению логических задач.

Объект исследования – занимательная математика, логические задачи.

Предмет работы – решение задач про рыцарей и лжецов для повышения наблюдательности и умения логически мыслить.

Практическая значимость моей исследовательской работы заключается в том, что результаты исследования могут быть использованы при подготовке к уроку, олимпиадам, экзаменам.

Структура работы: титульный лист, оглавление, введение, теоретическая и практическая части, заключение, список использованной литературы.

1. Логические задачи в математике

1.1. Задачи о рыцарях и лжецах

Логические задачи – пожалуй, самый эффективный инструмент для развития логики и мышления как у детей, так и у взрослых.

Решение задачи на логику предполагает сложный мыслительный процесс. Это последовательное совершение определённых логических действий, работа с понятиями, использование различных логических конструкций, построение цепочки точных рассуждений с правильными промежуточными и итоговыми умозаключениями.

Логические задачи от обычных отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача – это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Особое место логики, уделено в математике. Задачи, решение которых развивает логическое мышление, способствуют успешному изучению предмета. Эти задачи носят занимательный характер и не требуют большого запаса математических знаний, поэтому они привлекают даже тех учащихся, которые не очень любят математику.

Исходными данными в логических задачах являются высказывания. Высказывания и взаимосвязи между ними бывают так сложны, что разобраться в них без использования специальных методов сложно. Основная идея метода рассуждений состоит в том, чтобы последовательно анализировать всю информацию, имеющуюся в задаче, и делать на этой основе выводы.

Наверняка большинство из нас хотя бы раз проходили тесты на уровень логики. Большинство из них составлено из одних вопросов с подвохом.

Существует множество хитроумных задач об острове, населенном рыцарями, всегда говорящими только правду и лжецами, говорящими только ложь. Предполагается, что каждый обитатель острова либо рыцарь, либо лжец.

Так же бывают задачи с третьим типам персонажей – нормальные люди (вариант – шпионы). Они могут как лгать, так и говорить правду.

Систематическое выполнение логических заданий, решение нестандартных задач развивает, совершенствует познавательные способности и познавательную деятельность учащихся. Кроме того, выполнение задач такого вида требует постоянных умственных усилий, более глубокого анализа взаимосвязей, догадки, активизации знаний, проявления творческой инициативы.

1.2. Решение задач о рыцарях и лжецах

Жили-были на одном небольшом островке в океане два племени – рыцари и лжецы. Рыцари были настолько горды и благородны, что не могли говорить ничего, кроме правды, правды и только правды. А лжецы за годы так привыкли оправдываться, выкручиваться и хитрить, что уже не могли говорить ничего, кроме лжи. Так же на острове жили «нормальные люди», они могли говорить как правду, так и ложь. Попробуем определить, кто из них кто.

Как, задав один вопрос, определить, кто перед нами – рыцарь или лжец? Можно, например, спросить: «Ты — человек?» или «Дважды два — четыре?» Рыцарь скажет «да», а лжец «нет».

Если спросить у жителя острова «Кто ты: рыцарь или лжец?», то, кем бы он ни был, он ответит «Я – рыцарь». Рыцарь скажет про себя правду, а лжец солжет про себя. А вот ответ «Я – лжец» не даст никто, так как для рыцаря это будет ложью, а для рыцаря правдой.

Решим задачи посложнее.

На острове рыцарей и лжецов собралась компания из людей разного роста. Каждый заявил «Среди тех, кто выше меня, есть лжецы». Сколько лжецов могло быть среди них?

Решение: Самый высокий – точно лжец (ведь выше него вообще никого нет, а значит, и лжецов среди них нет). Любой, кто ниже него, автоматически говорит правду – значит он рыцарь. Лжец — один (самый высокий), все остальные — рыцари (сколько угодно).

На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес фразу «Все мои друзья – рыцари», либо «Все мои друзья – лжецы», причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.

Решение: Заметим, что в паре рыцарь-лжец каждый должен сказать, что другой лжец: рыцарь скажет правду, а лжец соврёт, в паре рыцарь-рыцарь оба скажут правду, а в паре лжец-лжец оба скажут неправду. Значит фраза «Все мои друзья – лжецы» употребляется только в парах рыцарь-лжец. Минимальное кол-во пар рыцарь-лжец, когда фразу сказали 100 человек, это 50. Если пар будет меньше, то и фраз тоже будет меньше.

На острове рыцарей и лжецов собралась компания из 12 человек, каждый заявил всем остальным: «Вы все лжецы!». Сколько лжецов может быть в этой компании?

Решение: Предположим, что все аборигены лжецы. Но тогда каждый из них говорит правду, чего он как лжец делать никак не может. Противоречие!

Значит, есть хотя бы один рыцарь. Рассмотрим этого рыцаря. Он должен был сказать правду. То есть все остальные 11 человек – лжецы. Каждый из них при этом говорит неправду, то есть этот пример подходит. Больше, чем один рыцарей быть не может, т.к. иначе каждый из них, сказав, что все остальные лжецы солгал бы.

По кругу сидят рыцари и лжецы – всего 12 человек. Каждый из них сделал заявление: «Все кроме, быть может, меня и моих соседей – лжецы». Сколько рыцарей сидит за столом, если известно, что лжецы всегда врут, а рыцари всегда говорят правду?

Решение: Все не могут быть лжецами – тогда все заявления были бы истинными. Значит, есть рыцарь. Все, кроме, быть может, его двух соседей – лжецы. Оба соседа не могут быть лжецами – тогда они сказали бы правду; оба не могут быть рыцарями – тогда бы они солгали. Единственная оставшаяся возможность – один сосед – лжец, другой – рыцарь (то есть два рыцаря рядом, остальные – лжецы) удовлетворяет условиям задачи. Ответ: 2 рыцаря.

Перед нами трое жителей острова A, B и C. Один из них рыцарь, другой лжец и третий – нормальный человек Эти люди высказывают следующие утверждения: A: Я нормальный человек; B: Это правда; C: Я не нормальный человек. Кто такие A, B и C?

Решение: Прежде всего заметим, что A не может быть рыцарем, потому что рыцарь не назвал бы себя нормальным человеком. Следовательно, получается, что A – либо лжец, либо нормальный человек. Тогда истинно высказывание человека B. Значит, B – либо рыцарь, либо нормальный человек. Но B не может быть нормальным человеком (так как A – нормальный человек), поэтому B – это доблестный рыцарь, а C – маленький лжец. Но лжец не может сказать о себе, что он не нормальный человек (так как любой лжец – не нормальный человек), и мы приходим к противоречию. Итак, A не может быть нормальным человеком. Следовательно, A – хитрый лжец. Это означает, что высказывание человека B ложно, в силу чего B должен быть нормальным человеком (лжецом он быть не может, так как лжец – человек A). Итак, A – хитрый лжец, а B – нормальный человек. Отсюда мы заключаем, что C – доблестный рыцарь.

Как видим, решение логических задач не требует глубокого знания математики. Эти непростые, но интересные задачи научат логически рассуждать и нестандартно мыслить, позволят приобщиться к радости самостоятельного открытия, глубже узнать окружающий мир. Их решение развивает находчивость, сообразительность, наблюдательность, умение анализировать, догадываться, доказывать, решать учебную задачу творчески.

2. Исследование уровня логического мышления учеников 5 класса

2. 1. Математика и логика на практике

Для изучения уровня логического мышления моих одноклассников, проведено небольшое исследование, в котором приняло участие двадцать человек. Всем им были предложены для решения два вида задач – математическая и логическая:

В двух корзинах лежало 86 яблок. Когда из первой во вторую переложили 3 яблока, то яблок в корзинах стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?

Разделим пополам общее количество яблок:

1) 86 : 2 = 43 (яблока) − стало в каждой корзине;

Прибавим к половине яблок 3:

2) 43 + 3 = 46 (яблок) − было в первой корзине;

Отнимем от половины яблок 3:

3) 43 − 3 = 40 (яблок) − было во второй корзине.

Ответ: в первой корзине было 46 яблок, а во второй было 40 яблок.

Вы попали на остров, на котором живут только рыцари и лжецы. Покинуть остров можно по одному из двух мостов (А или B). Один из мостов приведет вас на большую землю и вы спасены. Другой мост ведет на непроходимые болота. Для того, чтобы выбраться, у вас есть возможность обратиться с единственным вопросом к одному из двух жителей. Имеется достоверная информация: один из двух ваших собеседников рыцарь, а другой лжец. Какой вопрос следует выбрать?

а) Ты рыцарь? б) Твой друг рыцарь? в) Мне лучше выбрать мост А? г) Твой друг отправит на мост В?

Правильный вопрос, который нужно задать одному из жителей –г) Твой друг отправит на мост В?

Если выход по мосту А, то рыцарь ответит: «Да», а лжец ответит: «Нет». Если выход по мосту B, то рыцарь ответит: «Нет», а лжец ответит «Да».

С математической задачей под №1 справились 18 человек из 20. Это задача из учебника по математики для пятого класса, подобные задачи мы решаем на уроках.

С задачей на логику под №2 справились только 5 человек из 20. Подобные задачи на уроках мы не решали, поэтому решить ее смогли только те ученики, которые занимаются математикой углубленно, решают олимпиадные задачи. Остальным ученикам задача показались сложной и непонятной.

Как видим, решение логических задач вызвало трудности и учеников. Многие, не смогли решить задачу про рыцарей и лжецов, так как никогда не решали подобные задачи.

Чтобы решить логическую задачу нужно оригинально мыслить, использовать смекалку, проявить находчивость, применить нестандартные подходы.

Развивать логическое мышление необходимо постоянно. Регулярные тренировки в решении головоломок, нестандартных задач, ребусов и задач на смекалку полезны и необходимы для ума школьников.

Считаю нужным заниматься решением логических задач не только при подготовке к олимпиадам, экзаменам, а так же на уроках математики, при выполнении домашних заданий и в свободное время для саморазвития. Так же решением логических задач можно заниматься на «классных часах», в форме командной игры. В процессе игры у ребят появится дух соперничества.

2.2. Математика – это интересно

Чтобы вызвать интерес у моих одноклассников к логическим задачам, я предложил решить две логические задачи на время.

Предварительно, я объяснил одноклассникам, кто такие рыцари и лжецы.

Саша всегда говорит правду, а Паша всегда лжёт. Какой вопрос надо им задать, чтобы они дали на него одинаковые ответы (оба ответили «да» или оба ответили «нет»)?

Ответ: «Тебя зовут Саша?»

Правильный ответ дали 10 человек из 20.

Малыш спрятал от Карлсона банку с вареньем в одну из трех разноцветных коробок. На коробках Малыш сделал надписи: на красной – «Здесь варенья нет»; на синей – «Варенье — здесь»; на зеленой – «Варенье в синей коробке». Только одна из надписей правдива. В какой коробке Малыш спрятал варенье

Ответ: Варенье в зеленой коробке.

Правильный ответ дали 12 человек из 20.

Путешественник вышел на дорогу, соединяющую город лжецов и город рыцарей. Он хочет узнать, в какой стороне находится каждый из городов. Путешественник вышел на дорогу, соединяющую город лжецов и город рыцарей. Он хочет узнать, в какой стороне находится каждый из городов. Какой вопрос он должен задать прохожему (не зная, рыцарь он или лжец), чтобы определить это?

Ответ: Ты живешь в этом городе?

Правильный ответ дали 15 человек из 20.

Решение задач на время развило у ребят дух соперничества, стремление дать правильный ответ первым. Все 20 человек сказали, что им было интересно решать такие задачи.

Логические задачи обладают высоким потенциалом. Они приучают к анализу воспринимаемой информации, её разносторонней оценке, повышают интерес к занятиям математикой.

Математика – интересная, многогранная, занимательная и полезная наука. Занимательная математика – это направление в математике, которое может иметь форму головоломки, игры, состязания, фокуса, задачи с «секретом».

Одна из разновидностей увлекательных математических задач – задачи о рыцарях, лжецах и нормальных людях. Лжецы всегда лгут, рыцари – говорят правду, нормальные люди – могут как лгать, так и говорить правду. Решение подобных задач обычно сводится к перебору вариантов с исключением тех, которые приводят к противоречию.

Решение логических задач способствует развитию любознательности, сообразительности, развитию внимательности, настойчивости, целеустремлённости, умения преодолевать трудности – качеств весьма важных в практической деятельности любого человека

Таким образом, логика необходима и значима для любого человека. С помощью обоснования своих идей и взглядов логически, можно убеждать в своей правоте других людей. Логика формирует привычку анализировать свои и чужие суждения, позволяющие устранять ошибки в умозаключениях, отличать ложь от истины.

Читайте также:  Тест кейс поля имени

Логика улучшает память, ведь постигнув законы правильного мышления, можно более корректно обходиться с информацией. Логика упорядочивает нашу жизнь, она помогает отделить важное от неважного, отбрасывает все ненужные второстепенные вещи. Она помогает экономить наше время, что так важно человеку на сегодняшний день. Помимо этого, логика помогает шире смотреть на окружающий мир и глубже чувствовать и понимать его. Эти качества мышления имеют большое значение в любой области научной и практической деятельности.

Логические задачи будут одинаково интересны и увлечённым математикой детям, и «гуманитариям».

Список использованной литературы

Братусь Т.А. Все задачи «Кенгуру». / Братусь Т.А., Жарковская Н.А., Максимов Д.В. – СПб.: Левша, 2017. – 352 с.

Литвинов В.Л. 88 занимательных и олимпиадных задач по математике. Сборник занимательных задач, интересных загадок, головоломок, фокусов и игр. / В.Л. Литвинов. – Самара, 2017. – 43 с.

Никольский С.М. Математика 5 класс: учебник / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2018. – 269 с.

Смаллиан Р.М. Как же называется эта книга? / Р.М. Смаллиан. – М.: Мир, 2012. – 272 с.

Шарыгин И.Ф. Задачи на смекалку: учебное пособие для 5-6 классов общеобразовательных учреждений / И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2017. – 95 с.

Источник



Задачи Смаллиана. Образцы решения

Задачи Смаллиана

Образцы решения

Общее замечание. При решении всех задач используются метод рассуждения от противного и метод рассуждения по случаям. Следует иметь в виду, что нельзя как аргумент в рассуждении использовать утверждения: «Задача решается» и «Она имеет одно-единственное решение». Поэтому необходимо анализировать все возникающие варианты (случаи), даже если Вы пришли к какому-нибудь решению, не перебрав еще всех вариантов. Фактически во всех задачах после основного вопроса следовало бы указать: «Найти все возможные решения и доказать, что других нет, или доказать, что решений вообще нет».

Серия «Рыцари и лжецы»

Дело происходит на волшебном острове. Каждый обитатель этого острова является либо рыцарем, либо лжецом. Рыцари всегда говорят правду (то есть высказывают только истинные утверждения), лжецы всегда лгут (то есть их высказывания всегда ложны).

1. Имеются два островитянина: А и В. А говорит: «По крайней мере, один из нас лжец». Кто такой А (рыцарь или лжец) и кто такой В?

Если А – лжец, тогда получается, что он говорит правду (действительно тогда хотя бы один из них лжец, а именно А). Это противоречие. Поэтому А не может быть лжецом. Поэтому А – рыцарь. Поэтому он говорит правду (как рыцарь). Поэтому среди них есть хотя бы один лжец. Но так как А – рыцарь, то лжец – В.

Ответ: А – рыцарь, В – лжец.

2. Имеются два островитянина: А и В. А говорит: «Я лжец, или В рыцарь». Кто такой А (рыцарь или лжец) и кто такой В?

Если А – лжец, то первая часть его высказывания истинна (он действительно тогда лжец). Но тогда и истинным оказывается все высказывание А (по свойствам высказываний с дизъюнкцией). Но это противоречит тому, что А – лжец. Поэтому А – рыцарь. Все его высказывание истинно (поскольку он рыцарь), а первая часть ложна (ибо он не лжец). Значит, истинна вторая часть. То есть В – рыцарь.

Ответ: А и В оба рыцари.

3. Имеются два островитянина: А и В. А говорит: «Я лжец, а В не лжец». Кто такой А (рыцарь или лжец), и кто такой В?

Если А – рыцарь, то он говорит правду (как все рыцари). То есть обе части его высказывания в этом случае должны быть истинными (по свойствам высказываний с конъюнкцией). То есть, в частности, А должен быть лжецом. Но это противоречит допущению, что он рыцарь. Следовательно, А не может быть рыцарем. Поэтому он лжец. Но тогда первая часть его высказывания фактически истинна притом, что все его высказывание должно быть ложно (как сказанное лжецом). Значит (по свойствам конъюнкции), вторая часть фразы А ложна. Следовательно, В – лжец.

Ответ: А и В оба лжецы.

Серия «Рыцари и лжецы на острове упырей и людей»

Дело происходит на волшебном острове. Каждый обитатель этого острова является либо рыцарем, либо лжецом. Рыцари всегда говорят правду (то есть высказывают только истинные утверждения), лжецы всегда лгут (то есть их высказывания всегда ложны). Кроме этого, каждый островитянин является либо человеком, либо упырем, то есть существует четыре типа островитян: рыцари-люди, рыцари-упыри, лжецы-люди и лжецы-упыри.

4. Имеется островитянин А. Он говорит: «Я лжец или упырь». К какому из четырех типов островитян он относится?

Если А – лжец, то он говорит в целом правду (так как первая часть его высказывания оказывается в этом случае фактически истинной, а само высказывание относится по виду к дизъюнктивным). Это противоречие. Поэтому А – рыцарь. Но первая часть его высказывания тогда ложна. Значит, для того, чтобы все им сказанное было истинно (как это должно быть для рыцарей), истинной должна быть вторая часть. Поэтому А – упырь.

Ответ: А – рыцарь-упырь.

5. Имеется островитянин А. Он говорит: «Я лжец и упырь». К какому из четырех типов островитян он относится?

Если А – рыцарь, то он говорит (как рыцарь) правду. Поэтому обе части его высказывания должны быть истинными. Поэтому он должен быть лжецом. Но это противоречит допущению. Следовательно, А – лжец. Первая часть его высказывания тогда фактически истинна, а все высказывание в целом должно быть ложно (ибо А – лжец). Значит, ложна вторая часть. Поэтому А – не упырь.

Ответ: А – лжец-человек.

6. Имеются два островитянина — А и В. А говорит: «По крайней мере один из нас упырь». В говорит: «По крайней мере один из нас лжец». К какому из четырех типов островитян относятся А и В?

Если В – лжец, то получается, что сказанное им – правда (фактически). Поэтому В не может быть лжецом. Следовательно, В – рыцарь, и сказанное им – правда (как высказывание рыцаря). Поэтому один из них действительно лжец, а именно А (ибо В – не лжец). Поэтому А лжет, и упырей среди них нет.

Ответ: А – лжец-человек, В – рыцарь-человек.

7. Имеются два островитянина – А и В. А говорит: «Мы оба упыри». В говорит: «Мы оба лжецы». К какому из четырех типов островитян относятся А и В?

Если В – рыцарь, то сказанное им должно быть правдой, и они оба должны быть лжецами. Это противоречит допущению, что В – рыцарь. Значит, В – не рыцарь, а лжец. Значит, он лжет, и они не оба лжецы. Но раз В – лжец, значит, А – рыцарь. Поэтому А говорит правду, и они оба упыри.

Ответ: А – рыцарь-упырь, В – лжец-упырь.

Серия «Рыцари и лжецы»

8. Имеются три островитянина: А, В, С. А говорит: «Мы все трое лжецы». В говорит: «Ровно один из нас троих рыцарь». С молчит. Кто из них кто?

А не может быть рыцарем, ибо тогда они все (включая и А) были бы лжецами. Поэтому А – лжец. Поэтому он лжет, и среди них троих есть рыцари (хотя бы один). Если В – рыцарь, то он говорит правду, и С тогда лжец. Если же В – лжец, то рыцарей среди них либо нет, либо 2 или 3. Последние два варианта, очевидно, невозможны (А и В уже лжецы). Поэтому тогда и С должен быть лжецом. Но это противоречит ранее доказанному, что среди них есть рыцари. Поэтому В не может быть лжецом.

Ответ: А – лжец, В – рыцарь, С – лжец.

9. Имеются два островитянина – А и В. А говорит: «Мы оба лжецы, и этот остров называется Майя». В говорит: «По крайней мере один из нас лжец, и этот остров не Майя». Возможно ли, чтобы этот остров действительно назывался Майя? Если да, то наверняка ли он так называется?

Пусть этот остров действительно Майя. Тогда вторая часть высказывания А истинна, вторая часть высказывания В – ложна. А не может быть рыцарем (см. выше). Значит, А – лжец. Значит, первая часть высказывания В истинна, а, так как вторая ложна, то ложно и все его высказывание в целом. То есть В – лжец. Значит, они оба лжецы. Но тогда обе части высказывания А истинны, что невозможно (А – лжец). Значит, этот остров не может называться Майя. (Кроме того, А тогда лжец, а В – рыцарь).

Ответ: нет, нельзя.

Серия «Рыцари, лжецы и оборотни»

10. Имеются три персонажа: А, В, С. Среди персонажей имеется ровно один оборотень. Оборотень может быть как рыцарем, так и лжецом. А говорит: «Я оборотень». В говорит: «Я оборотень». С говорит: «Не более чем один из нас рыцарь». Кто оборотень? Можно ли установить, кем являются А, В, С (рыцарями или лжецами)?

Пусть С – рыцарь. Тогда он говорит правду и остальные персонажи (А и В) в этом случае оказываются лжецами. Поэтому в этом варианте С – оборотень. Если же С – лжец, то он говорит неправду, и среди них более одного рыцаря, то есть А и В – оба рыцари и потому оба оборотни (они говорят правду как рыцари). Но это невозможно по условию (оборотень один). Следовательно, С – рыцарь и оборотень.

Ответ: С – оборотень. А и В – лжецы, С – рыцарь.

11. Имеются два персонажа: А и В. Из них оборотень только один и может оказаться кем угодно. А говорит: «Оборотень – рыцарь». В говорит: «Оборотень – лжец». Кто оборотень?

Если В – рыцарь, то оборотень – лжец, и им тогда должен быть А (так как В – рыцарь). И действительно, А тогда лжет относительно того, кем является оборотень. Если же В – лжец, то оборотень не лжец (высказывание В ложно), то есть рыцарь. И в этом случае оборотень А. И тогда он действительно говорит правду относительно того, что оборотень (то есть он сам) – рыцарь. Итак, кем бы ни был В (и кем бы ни был тогда А), в любом случае оборотень А.

Ответ: оборотнем является А.

Серия «Расследования преступлений»

1. Украли муку. Подозрение в краже перца пало на Соню, Болванщика и Мартовского Зайца. Известно, что муку украл только кто-то один из них, и именно он единственный на суде сказал правду.

Показания подозреваемых были следующими:

Мартовский Заяц: Муку украл Болванщик.

Показания Сони и Болванщика не сохранились.

Если бы Заяц был вором, он бы сказал правду (по условию), и тогда Болванщик тоже был бы виновен. Но это (два вора) невозможно по условию. Значит, Заяц невиновен. Но тогда он лжет (только вор сказал правду). Поэтому Болванщик тоже невиновен. Значит, муку украла Соня.

Ответ: Соня.

2. Украли соль. Подозрение пало на Гусеницу, Ящерку Билля и Чеширского Кота. Известно, что по крайней мере один из обвиняемых лгал и по крайней мере один говорил правду. Известно также, что соль украл кто-то один. На суде подозреваемые сказали следующее: Гусеница: «Соль украл Ящерка Билль». Ящерка Билль: «Сущая правда!» Чеширский Кот: «Я не крал соли». Кто украл соль?

Пусть соль украла Гусеница. Тогда она лжет, Ящерка тоже лжет, а Кот говорит правду (он действительно в этом случае не крал соль). Этот вариант подходит под условия задачи. Если соль украл Ящерка Билль, тогда все трое говорят правду, что исключено условием задачи. Если соль украл Кот, то все трое лгут, что также невозможно. Поэтому единственно возможное решение – Гусеница.

Серия «Принцесса или тигр»

1. Имеются две запертые комнаты, в каждой из которых может находиться тигр или принцесса. Иными словами, в комнатах может быть два тигра, две принцессы, или один тигр и одна принцесса (соответственно, в комнате 1 и в комнате 2, или наоборот). На дверях комнат висят таблички. Известно, что они либо обе лгут, либо обе говорят правду. Вот они:

На комнате 1 На комнате 2

По крайней мере в одной из этих В другой комнате сидит тигр

комнат находится принцесса

Кто в какой комнате сидит?

Если обе таблички лгут, то, с одной стороны, принцесс в комнатах нет (из ложности первой), с другой стороны, в комнате 1 тигр не сидит (из ложности второй), т. е. в комнате 1 принцесса. Это противоречие. Поэтому обе таблички говорят правду. Тогда в 1-й комнате тигр (вторая табличка), значит, принцесса во 2-й комнате (чтобы истинной оказалась первая табличка).

Ответ: тигр в первой, принцесса во второй.

2. Имеются три запертые комнаты, в которых находятся тигр, принцесса (по одному обитателю в комнате), а одна комната пуста. На дверях комнат висят таблички. Известно, что если в комнате сидит принцесса, то табличка на двери этой комнаты говорит правду, если тигр – табличка лжет, а если комната пуста, то надпись на соответствующей табличке может быть любой. Вот все таблички:

На комнате 1 На комнате 2 На комнате 3

Комната 3 пуста В комнате 1 сидит тигр Эта комната пуста

В какой комнате сидит принцесса, а в какой – тигр?

Принцессы не может быть в комнате 3 (если бы она там была, то табличка на двери этой комнаты должна была бы говорить правду, и комната 3 была бы одновременно и пустой). Если принцесса в комнате 2, то тигр в комнате 1 (табличка 2 тогда говорит правду). Поэтому 1-я табличка лжет, и комната 3 не пуста. Но этого не может быть, ибо обитателями уже заняты комнаты 1 и 2. Значит, принцесса может находиться только в комнате 1. Тогда комната 3 пуста, а тигр в комнате 2 (и «его» табличка действительно лжет).

Ответ: принцесса в первой, тигр во второй.

3. Имеются две комнаты, в каждой из которых сидит либо тигр, либо принцесса. Иными словами, в комнатах может быть два тигра, две принцессы, или один тигр и одна принцесса (соответственно, в комнате 1 и в комнате 2, или наоборот). На дверях комнат висят таблички. Условия истинности надписей на них следующие. Для левой комнаты (комнаты 1): если в ней принцесса, то табличка говорит правду, а если тигр – то лжет. Для правой комнаты (комната 2) все наоборот: если в ней тигр, то табличка истинна, если принцесса, то ложна. Надписи таковы:

На комнате 1 На комнате 2

В обеих комнатах В обеих комнатах находятся

Читайте также:  Тест Первая российская революция Политические реформы 1905 1907 годов

находятся принцессы принцессы

Пусть в первой комнате сидит принцесса. Тогда по условию табличка на левой двери говорит правду, и в комнате 2 тоже сидит принцесса. Но тогда табличка на правой двери говорит фактически правду, что невозможно по условию истинности надписи на комнате 2 («принцесса должна лгать»). Поэтому принцессы в первой комнате быть не может. Значит, там тигр, и табличка лжет (это действительно так, двух принцесс уже быть не может). Но тогда лжет и табличка 2. А это означает, что в комнате 2 сидит принцесса («тигр во второй комнате должен был бы сказать правду»).

Ответ: тигр в первой, принцесса во второй.

4. Условия те же, что и в предыдущей задаче. Но таблички только изготовили и еще не успели повесить на двери комнат. Таблички таковы:

«В этой комнате сидит тигр» «В обеих комнатах сидят тигры».

Сначала определим, как вообще можно повесить таблички на двери комнат. Пусть левая табличка висит на левой комнате, а правая на правой. Пусть в левой комнате сидит принцесса. Это невозможно, так как табличка должна говорить правду (по условию), а на ней написано, что за дверью – тигр. Тогда пусть в левой комнате сидит тигр, но тогда табличка говорит правду (что он там), а «левый тигр» должен лгать. Поэтому таблички не могут висеть так, как мы предположили. Значит, они висят наоборот. Опять-таки принцесса не может оказаться в левой комнате (на табличке, которая тогда должна говорить правду, написано, что в комнатах два тигра). Значит, в левой комнате сидит тигр, и табличка ложна. То есть не в обеих комнатах сидят тигры. То есть в правой комнате сидит принцесса. И действительно, соответствующая табличка лжет («здесь тигр»), как это и полагается для «правой принцессы».

Ответ: тигр в первой, принцесса во второй.

Серия «Шкатулки»

1. Имеются три шкатулки с выгравированными на них надписями. В одной из шкатулок находится брошь. Из трех надписей, по крайней мере, одна говорит правду и по крайней мере одна лжет. Вот эти надписи:

На золотой шкатулке На серебряной шкатулке На свинцовой шкатулке

Брошь не в серебряной Брошь не в этой шкатулке Брошь в этой шкатулке

Если брошь в золотой шкатулке, то надпись на золотой истинна, на серебряной истинна, на свинцовой ложна. Если брошь в серебряной шкатулке, то все надписи ошибочны, что противоречит условию. Если брошь в свинцовой шкатулке, то все надписи истинны, что также противоречит условию. Следовательно, брошь может быть только в золотой шкатулке.

Ответ: брошь в золотой шкатулке.

2. Шкатулки изготавливаются мастерами – Челлини или кем-то из его сыновей, Беллини или кем-то из его сыновей. Если шкатулку делает кто-то из семейства Челлини, то гравирует на ее крышке ложную надпись, если кто-то из семейства Беллини, то истинную.

Имеются две шкатулки – золотая и серебряная. На их крышках выгравированы такие надписи:

На золотой шкатулке На серебряной шкатулке

Обе шкатулки в этом Ни одна из этих шкатулок

комплекте изготовлены не была изготовлена

членами семейства Челлини ни сыном Беллини, ни сыном Челлини

Кто какую шкатулку изготовил?

Очевидно, что золотую шкатулку не мог изготовить никто из Беллини, ибо тогда надпись на ней должна была бы быть истинной, и ее сделал бы тогда кто-то из Челлини (см. надпись). Значит, ее сделал кто-то из Челлини, и надпись на ней лжет. Значит, серебряную шкатулку сделал кто-то из Беллини (раз золотую – кто-то из Челлини, а обе члены этого семейства сделать не могли). Значит, надпись на серебряной шкатулке говорит правду. И поэтому сыновья мастеров в изготовлении шкатулок не участвовали. Поэтому золотую сделал сам Челлини, а серебряную – сам Беллини.

Ответ: золотая шкатулка работы Челлини, серебряная работы Беллини.

3. Условие то же, но теперь в изготовлении шкатулок принимают участие только сами мастера – Беллини или Челлини, но не их сыновья. Имеются три шкатулки, в одной из которых лежит алмаз. Надписи на крышках шкатулок таковы:

На золотой шкатулке На серебряной шкатулке На свинцовой шкатулке

Если алмаз в серебряной Если алмаз здесь, то золотую Шкатулку, где лежит

шкатулке, то ее изготовил шкатулку сделал Челлини алмаз, изготовил

Где лежит алмаз?

Пусть камень в свинцовой шкатулке. Тогда если ее сделал Беллини, то надпись на ней должна быть правдивой. Но это невозможно (там написано, что ее – с камнем – сделал Челлини). А если ее сделал Челлини, то оказывается, что он выгравировал правду (что шкатулку с камнем сделал он). Это тоже невозможно, Челлини правды «не пишет». Значит, камня в свинцовой шкатулке точно нет. Пусть камень в серебряной шкатулке. Пусть ее сделал Беллини. Следовательно, золотую шкатулку сделал тогда Челлини (условия истинности импликативных суждений: истинен антецедент – допущение, что камень здесь, и истинна вся импликация как написанное Беллини; значит, консеквент тоже истинен). Тогда надпись на золотой шкатулке лжет, то есть антецедент истинен (это действительно так), а консеквент ложен, то есть серебряную сделал не Беллини. Это противоречит допущению. Пусть по-прежнему камень находится в серебряной шкатулке, но сделал ее Челлини. Значит, золотую сделал Беллини (из ложности консеквента). Значит, надпись на золотой шкатулке истинна. Значит, консеквент этого высказывания истинен, и серебряную шкатулку сделал Беллини. Опять противоречие. Значит, в любом случае камень не может находиться в серебряной шкатулке. Значит, он в золотой (или задача вообще не имеет решения). Но тогда надпись на ней истинна в силу ложности антецедента. Поэтому золотая шкатулка работы Беллини. Для серебряной аналогично, ее тоже сделал Беллини. Надпись на свинцовой шкатулке тогда лжет, и свинцовую шкатулку сделал Челлини. Это вполне удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: алмаз лежит в золотой шкатулке.

Серия «Лес Забывчивости»

Дело в задаче происходит в сказочном Лесу Забывчивости. Его обитателями являются Лев и Единорог. По лесу гуляет Алиса. Известно, что Лев лжет по понедельникам, вторникам и средам и говорит правду во все остальные дни недели. Единорог лжет по четвергам, пятницам и субботам и говорит правду во все остальные дни недели. А Алиса зачастую забывает, какой сегодня день. Алиса встретила Льва и Единорога. Лев сказал: «Вчера был один из дней, когда я лгу». Единорог сказал: «Вчера был один из дней, когда я тоже лгу». В какой день недели состоялась встреча?

Лев мог сказать свою фразу только в четверг (и это было бы правдой, ибо в среду он лгал, и соответствовало бы тому, что по четвергам Лев говорит правду) или в понедельник (тогда он бы солгал, ведь в воскресенье он говорил правду, но так и должно быть в понедельник). Во все остальные дни недели нельзя достигнуть соответствия между истинностью и ложностью фразы и типом дня, в который она произносится. Так, в пятницу – «правдивый день» — фраза будет ложной (в четверг он тоже говорил правду), а во вторник – «ложный день» — истинной (ибо в понедельник Лев лгал). Аналогично, Единорог может сказать то же самое в четверг и воскресенье. Поэтому они встретились в четверг (единственный общий день).

Источник

Задачи про рыцарей и лжецов

Схема решения этих задача такова — разобрать все случаи и отсеять те, что приводят к противоречию. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы лгут.

Задача 1

В одном городе живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда обманывают. Путешественник встретил двух жителей этого города. Один из них сказал: «По крайней мере один из нас лжец!». Кто этот горожанин — рыцарь или лжец? Кто второй горожанин?

Если разговорчивый горожанин лжец, то фраза «По крайней мере один из нас лжец!» является неправдой, то есть среди них нет ни одного лжеца. А это приводит к противоречию, т.к. он лжец. Если же он сказал правду, то второй горожанин — лжец.

Ответ: первый — рыцарь, второй — лжец.

Задача 2

В одном городе живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда обманывают. Горожанин Пит сказал своим друзьям: — Вчера мой сосед заявил мне, что он лжец! Кем является Пит — рыцарем или лжецом?

Лжец не может заявить, что он лжец, так как это будет правдой, а это противоречие, следовательно, Пит лжет.

Можно рассмотреть два случая.

1. Если сосед Пита — рыцарь, тогда то, что он заявил Питу, должно быть правдой, то есть он должен быть лжецом. Но мы предположили, что он рыцарь. Значит, такого не может быть.

2. Если сосед Пита — лжец, то он сказал Питу неправду, то есть неправда, что он лжец. Снова противоречие.

Итак, если бы сосед Пита сказал ему, что он лжец, то в любом случае получилось бы противоречие, то есть, такого быть не могло. Вывод: сосед Пита этого вообще не говорил!
Значит, Пит лжёт.

Ответ: Пит — лжец

Задача 3

Есть два поселка, которые разделяет мост. С одной стороны моста в поселке Правдорубово живут рыцари, которые говорят только правду, с другой в поселке Честновруново лжецы, которые всегда врут. Жители двух поселков любят ходить друг к другу в гости. Путешественник оказался в одном из этих поселков, он задал вопрос первому встретившемуся человеку: «Это ваш родной поселок?». На что получил ответ: «Нет, я здесь в гостях». В каком поселке оказался путешественник?

Первый встречный мог быть либо рыцарем, либо лжецом. Если он рыцарь, то его ответ правдив, и он не живёт в этом поселке, и тогда это поселок лжецов. Если же он лжец, то его ответ — ложь, и он живет в этом поселке а значит, это опять же поселок лжецов. Итак, в обоих случаях получается, что путешественник оказалась в поселке лжецов Честновруново.

Ответ: в поселке лжецов Честновруново.

Задача 4

Встретились два горожанина Тыс и Мыс. — По крайней мере один из нас – рыцарь, — глубокомысленно изрек Тыс. — Но ты то уж точно лжец! – рассмеялся ему в лицо Мыс. Определите, кем являются оба?

Если предположить, что Мыс рыцарь, то он говорит правду и Тыс лжец, но этого не может быть, т.к. Тыс в таком случае сказал правду, что один из них рыцарь. Следовательно, Мыс лжет, а Тыс рыцарь. Это подтверждается их высказываниями.

Ответ: Тыс – рыцарь, Мыс – лжец

Задача 5

В одном городе живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда обманывают. Горожанин Марк выкрикнул: « Или я лжец, или Артур рыцарь!». Кто такой Марк (рыцарь или лжец), и кто такой Артур?

В высказывании Марка стоит противопоставление: либо одна либо другая часть правда. Я — лжец, лжец про себя так не скажет, т.к. он будет всегда лгать, следовательно, Марк — рыцарь и первая часть его высказывания неверна, а вторая верна, т.е. Артур тоже рыцарь.

Ответ: Марк и Артур оба рыцари.

Задача 6

В одном городе живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда обманывают. Горожанин Бук высказал утверждение: «Я лжец, а Тук не лжец». Кто такой Бук (рыцарь или лжец), и кто такой Тук?

Здесь во фразе нет противопоставления, выражение должно быть либо правдой, либо ложью. Рыцарь про себя не может сказать, что он лжец, следовательно, Бук – это лжец. Так как он сказал про себя правду в первой части фразы, то во второй он должен наврать, чтобы высказывание стало ложью, следовательно, Тук тоже лжец.

Ответ: Бук и Тук оба лжецы.

Задача 7

Однажды в четверг после дождя между горожанами Тимом и Бимом произошел следующий диалог: — Ты можешь сказать, что я рыцарь, — гордо заявил Тим. — Ты можешь сказать, что я лжец, — грустно ответил ему Бим. Кем являются Тим и Бим?

Пусть Тим — рыцарь, то есть говорит правду. Тогда Бим может сказать, что Тим рыцарь. Поскольку это правда, то получается, что Бим может сказать правду, значит, Бим тоже рыцарь. Но тогда сказанное Томом тоже должно быть правдой, но на самом деле Тим не сможет сказать, что он лжец, потому что он не лжец, а Тим не врёт. Противоречие.

Значит, Тим — лжец. Тогда Бим не может сказать, что он рыцарь, то есть Бим не может сказать неправду. Значит, Бим рыцарь. И действительно, слова Бима — правда, потому что Тим может соврать, сказав, будто Бим лжец.

Ответ: Тим – лжец, Бим – рыцарь.

Задача 8

Волшебная страна населена лжецами и рыцарями, причем лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Путешественник едет по этой стране в сопровождении местного гида. Навстречу им попадается туземец и путешественник спрашивает его: «Вы, конечно, рыцарь?» Туземец его понимает и отвечает «Гашака», что означает то ли «да», то ли «нет». На просьбу перевести гид говорит: «Он сказал — да. Добавлю, что на самом деле он лжец». Кем, на самом деле, был встреченный ими туземец?

Заметим сначала, что путешественник и без помощи гида мог определить, что слово «Гашака» обозначает «да». Действительно, независимо от того, является ли житель страны рыцарем или лжецом, на вопрос «Вы, конечно, рыцарь?» он ответит «да». Значит, гид является рыцарем и говорит правду, но из его слов следует, что туземец — лжец. Следовательно, так оно и есть.

Ответ: Лжецом.

Задача 9

В городе «Правдивая ложь» живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Странствующий путник встретил троих горожан и спросил каждого из них: «Сколько рыцарей среди твоих друзей?». Первый ответил: «Ни одного». Второй сказал: «Один». Что сказал третий горожанин?

Если первый — рыцарь, то, по его словам, второй и третий — лжецы. Но это невозможно из-за высказывания второго горожанина. Так получилось бы, что второй сказал бы правду, хотя он лжец. Значит, первый — лжец. Если второй — лжец, то по его словам третий тоже лжец. Но тогда первый горожанин сказал правду, а он должен был соврать. Значит, второй — рыцарь. И, по его словам, третий тоже рыцарь. Третий честно ответит: «Один».

Задача 10

Встретились трое горожан из города, в котором живут рыцари и лжецы. Горожанин Ван говорит: «Мы все трое лжецы». Ман говорит: «Ровно один из нас троих рыцарь». Тан молчит. Кто из них кто?

Ван не может быть рыцарем, ибо тогда они все (включая и его) были бы лжецами. Поэтому Ван – лжец. Поэтому он лжет, и среди них троих есть рыцари (хотя бы один). Если Ман – рыцарь, то он говорит правду, и Тан тогда лжец. Если же Ман – лжец, то рыцарей среди них либо нет, либо 2 или 3. Последние два варианта, очевидно, невозможны (Ман и Ван уже лжецы). Поэтому тогда и Тан должен быть лжецом. Но это противоречит ранее доказанному, что среди них есть рыцари. Поэтому Ман не может быть лжецом.

Читайте также:  Тестовая работа по теме Пирамида Геометрия 10 класс тест по геометрии 10 класс на тему

Ответ: Ван – лжец, Ман – рыцарь, Тан– лжец.

Задача 11

Путешественник встретил двух жителей города, в котором живут лжецы и рыцари. Он спросил обоих: «Рыцарь ли его приятель?» и получил ответы. Должны ли оба ответа быть одинаковыми?

Если оба встретившихся вам островитянина рыцари, то они оба ответят «да». Если они оба лжецы, то они также оба ответят «да». Если же один из них рыцарь, а другой лжец, то рыцарь ответит «нет» и лжец также ответит «нет».

Ответ: Должны.

Задача 12

Встретились два горожанина Том и Сем. Том заявил: «Мы оба лжецы, и этот город называется Троя». Сем ответил: «По крайней мере один из нас лжец, и этот город не Троя». Возможно ли, чтобы этот город действительно назывался Троя? Если да, то наверняка ли он так называется?

Пусть этот город действительно называется Троя. Тогда вторая часть высказывания Тома истинна, вторая часть высказывания Сема – ложна. Том не может быть рыцарем, так как рыцарь не скажет о себе, что он лжец. Значит, Том – лжец. То есть, первая часть высказывания Сема истинна, а, так как вторая ложна, то ложно и все его высказывание в целом. То есть Сем – лжец. Значит, они оба лжецы. Но тогда обе части высказывания Тома истинны, что невозможно, следовательно, Том – лжец). Значит, этот город не может называться Троя. Получается, что Том лжец, а Сем – рыцарь.

Источник

Задачи про рыцарей и лжецов

Нажмите, чтобы узнать подробности

Приведена полная подборка задач про рыцарей и лжецов. (Система высказываний с неизвестной истинностью каждого). В некоторых задачах приведены решения

Просмотр содержимого документа
«Задачи про рыцарей и лжецов»

парадокс лжеца является высказывание Евбулида (4 век до н. э.): «Я лгу».

Если сказав «я лгу», я сказ истину, то значит я при этом солгал (т. е. сказал неправду), что противоречит, следовательно, произнося это высказывание, я сказал неправду, т. е. солгал. Итак, доказав, что произнеся это высказывание, я солгал, а т к именно это я и утверждал, произнося это высказывание, то я, тем самым, сказал при этом истину, т. е. док и то, что я (в том же слцчае) сказал истину. В этом протиоречиив и состоит парадокс.

Чел произносит: «Я лгу», или «То что я сейчас говорю, является ложью», или же «Это высказывание ложно». Если высказывание ложно, то говорящий сказал правду и, сказанное им не является ложью. Если же высказывание не является ложным, а говорящий утверждает, что оно ложно, то это его высказывание ложно. Таким образом, если говорящий лжёт, он говорит правду, и наоборот.

Парадокс лжеца демонстрирует расхождение разговорной речи с формальной логикой, вводя высказывание, которое одновременно истинно и ложно.

Утверждение, составляющее парадокс лжеца, в формальной логике не доказывается и не опровергается. Поэтому считается, что данное высказывание вообще не является логическим утверждением .Попытка разрешить парадокс прив к обобщениям классической логики: например, тройственной логике, комплексной логике или паранепротиворечивой логике

Задачи про рыцарей и лжецов

0) На острове живут рыцари и лжецы. Путник, встретив местного жителя, спросил его, кем он является. Что ответил житель?

1а)A утверждает: «Я говорю правду». Кто он рыцарь или лжец?

1б) А говорит «Или я лжец, или 2+2=5.

К какому заключению можно прийти на основании этого утверждения?

2) Путник на дороге, соединяющей город лжецов и город рыцарей. Он хочет узнать, в какой стороне находится каждый из городов. Какой вопрос он должен задать прохожему (не зная, рыцарь он или лжец), чтобы определить это?

3) А говорит: «По крайней мере, один из нас лжец».

Кто такой А (рыцарь или лжец) и кто такой В?

Реш Если А – лжец, тогда получается, что он говорит правду (действительно тогда хотя бы один из них лжец, а именно А). Это противоречие. Поэтому А не может быть лжецом. Поэтому А – рыцарь. Поэтому он говорит правду (как рыцарь). Поэтому среди них есть хотя бы один лжец. Но так как А – рыцарь, то лжец – В.

Ответ: А – рыцарь, В – лжец.

3а) A говорит: «Или я лжец, или B рыцарь». Кто из A и B рыцарь и кто лжец (4 вар отв)

3б) Из 2 жит A и B B утверждают: «Только один из нас двоих рыцарь». Кто эти жители?

3в) A утверждает: «Мы оба вместе с B лжецы». Кто есть A и кто есть B?

3г) A: B утверждает, что он рыцарь.

B: A утверждает, что он лжец.

К какой категории следует отнести каждого?

3д) двое людей A и B, о которых известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец, либо нормальный человек, высказал утверждение A: B — рыцарь. B: A — не рыцарь.

Доказать, что по крайней мере один из них говорит правду, но это не рыцарь. Доказать а)если A говорит правду, то он говорит правду, не будучи рыцарем; б)если A лжет, то B говорит правду, не будучи рыцарем.

3е) А и В. А говорит: «Я лжец, а В не лжец». Кто такой А (рыцарь или лжец), и кто такой В? Отв: А и В оба лжецы.

Решение: запишем высказывание формулой тогда должно быть

или =1 или а) или б) случай б)

В случае а) А рыцарь и он не может соврать (p=0). В случае б) подставив А=0 в 1-е уравнение имеем т е В=0

4)В городе есть Р , все высказывания которых правда, Л – каждое высказывание которых – ложь. Г- может говорить правду, но может и солгать. Однажды встретился человек, который сказал о себе: «Я – лжец». Кем был тот человек, который встретился?

5) 3 жителя A, B и C. Двое из них (A и B) высказали утверждение:

A: Мы все лжецы. B: Один из нас рыцарь.

Кто из 3 островитян A, B и C рыцарь и кто лжец?

5а)На острове живут рыцари, кот всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил 3 человек и спросил каждого из них: «Сколько рыцарей среди твоих спутников?». 1й ответил: «Ни одного». 2й сказал: «Один». Что сказал 3й?

Реш Если 1й — рыцарь, то в силу его слов 2й и 3й — лжецы, что невозм из-за высказ 2го островит. Зн, 1й — лжец. Если 2й — лжец, то в силу его слов 3й тоже лжец, но тогда 1й сказ правду, а он д б соврать. Зн, 2й — рыцарь. В силу его слов 3й тоже рыцарь. 3й честно отв: «Один». Отв Один.

5б)На острове живет 25 чел: рыцари, лжецы и хитрецы. Рыцари всегда гов правду, лжецы всегда лгут, а хитрецы отв на зад им вопросы по оч то правду, то ложь. Всем жит острова б задано 3 вопр: “Вы рыцарь?”, “Вы хитрец?”, “Вы лжец?”. На 1й вопр “Да” отв 15 чел, на 2й — 7 чел, на 3й — 5 чел. Сколько хитрецов живет на этом острове?

Нач реш.1) Рыцарь (R) на такие вопр ответит: «да, нет, нет»;2) Лжец (L) на такие вопросы ответит «да,да, нет»;3) Хитрец может ответить либо: «да, нет, да» (X1),

либо «нет, да, нет» (X2).

Теперь по задаче составим систему уравнений : R+L+X1+X2=25, R+L+X1=15, L+X2=7, X1=5. Поэтому X1=5, отсюда X2=10, но тогда L=-3. Вр бы верно все сделал, но получ противор. -На 1 и 3 вопр хитрецы д б отв одинак, отсюда R+L=15−5=10, а хитрецов всего 25−10=15.Для полноты решения надо проверить, что ответ на 2й вопрос не противоречит ответу.

5с) На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя б один друг. Однажды утром каждый житель произнес фразу «Все мои друзья — рыцари», либо «Все мои друзья — лжецы», причем каждая из фраз произнесена ровно 100 чел. Найдите мин возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой — лжец.

Решение: в паре рыцарь-лжец каждый д сказать, что другой лжец: рыцарь скажет правду, а лжец соврёт, в паре рыцарь-рыцарь оба скажут правду, а в паре лжец-лжец оба скажут неправильно. Значит фраза «Все мои друзья — лжецы» употребляется только в парах рыцарь-лжец. Минимальное количество пар рыцарь-лжец, когда фразу сказало 100 чел, это 50. Если пар было меньше, то и фраз тоже было меньше.

6в)). За круглым столом собр 2012 жит острова. Каждый из низ заяв : «Один из моих соседей — рыцарь, а др — лжец». М ли опр ск за столом рыцарей.

Реш. Соседи Рыцаря: Р-Р-Л Зн, посадка такая . —Р-Р-Л—Р-Р-Л—.. число, сидящих д дел на 3.
Рыцарей д б в 2 р больше, чем лжецов. 2012 на 3 не делится. Задача не корректная

7)человек спросил A: «Сколько рыцарей среди вас?» A ответил неразборчиво. человек спросил B: «Что сказал A?» B ответил: «А сказал, что среди нас 1 рыцарь». Тогда C закричал «Он лжет!» Кто из 2 B и C рыцарь и кто лжец?

B — лжец, а C — рыцарь. B — рыцарь, а C — лжец.

8) Предположим, что A и B высказали следующие утверждения:

A: Мы все лжецы. B: Ровно 1 из нас лжец.

Можно ли определить, кто такой B: рыцарь или лжец?

Можно ли определить, кто такой C?

9) На о-ве живут только рыцари , кот всегда гов правду, и лжецы , кот всегда лгут. В Думе о-ва — 11 депут. В целях сокр бюджета б решено сокр Думу на 1 депут. Но каждый из деп заявил, что, если его выведут из сост Думы, то среди оставя депут больш-во будут лжецами . Сколько рыцарей и сколько лжецов в Думе?

Изнач в Думе 5 рыцарей и 6 лжецов. Если убир рыцаря, то каждый из рыц вправе утв, что лжецов больше, если лжеца, то их с рыц будет поровну, но каждый лжец б утв, что их, лжецов, больше, т.е. лгать, как и положено

Сперва м предп, что рыцар , чем лжецов, и отсечь этот вар, потом, что рыц

10) 5) На острове, насел кот сост только рыцари, всегда гов правду, и лжецы, кот всегда лгут, нах НИИ. Каждый из его сотруд однажды сделал два заявления:
а) В инст нет и 10 чел, кот работают больше меня.
б) По кр мере 100 чел в инст получают зарплату большую, чем моя.
Известно, что нагрузка у всех работников разная, как и зарплата.

Сколько человек работает в НИИ?

53)Один из попугаев А, В, и С всегда говорит правду, другой всегда врет, а 3й – иногда говорит правду, а иногда врет. На вопрос: «Кто В?» они ответили :

А: — Лжец . В: — Я хитрец! С: — Абсолютно честный попугай.

Кто из попугаев лжец, а кто хитрец?

54)До Царя дошла весть, что кто-то из 3 богат убил Змея Горын. Приказал Царь им явиться ко двору. Илья Мур: — Змея убил ДН.Д Н: — Змея убил А П.А По: — Я убил змея.

Изв, что только 1 богатырь сказал правду, а двое других слукавили. Кто убил змея?

55)До царя Гороха дошла молва, что наконец кто-то убил Змея Горыныча. Царь догад, что это дело рук или Ильи Муромца, или Добр Никитича, или Алеши Поповича. Пригл их ко двору, стал расспр. Трижды каждый богатырь речь держал. И сказали они так:

И М: «Я не убив З Г. А змея Гор убил А П.»

Д Н: «З убил А П. Но я если бы и убил, то не созн бы.

А П: «Не я убил ЗГ. Я давно ищу, какой бы подвиг совершить. И взаправду И Муромец в заморские страны уезжал.»

Потом царь Горох узнал, что дважды каждый богатырь правду говорил, а 1 раз соврал. кто убил Змея Горыныча?

56)За круглый стол сели 7 братьев-гномов. Гномы всегда говорят правду всем старшим братьям, а младшие всегда врут. Каждый гном сказал своему правому соседу: «все здесь присутствующие говорят мне только неправду». В каком порядке сидят гномы?

57)За круглым столом сидят 8 чел, каждый из которых л рыцарь, либо лжец. Рыцарь всегда говорит правду, а лжецы – всегда лгут . На вопрос, кто их соседи, каждый из них ответил : « Мои соседи – лжец и рыцарь». Сколько среди них будет лжецов ?

59)В стране есть города А и В. Все жители гор А говорят только правду, а жителм города В всегда лгут. Жители этих гор ходят друг к другу в гости. Путник попал в один из этих городов, но не знает, в какой. Как он может, задав 1 вопрос первому попавшемуся жителю, узнать, в каком городе он находится?

60)В конференции участвуют 100 чел – химики и алхимики. Каждому был задан вопрос: « Если не считать Вас, то кого больше среди остальных уч-ков – химиков или алхимиков?» когда опросили 51 участника, и все ответили, что алхимиков больше, опрос прервали. Алхим всегда лгут, а химики всегда говорят правду.

Сколько химиков среди участников?(пересеч и объед множеств)

1)Путешеств посетил селение, в кот каждый человек либо всегда гов правду, либо всегда лжет. Жители стали в круг, и каждый сказал путеш про соседа справа, правдив тот или лжив. На осн этих сообщ путеш одноз опред, какую долю от всех жит селения сост правдивые. Опр и вы, чему она равна.

Реш Пусть x — доля правд жителей. Предст, что все правд жители стали лжецами, а все лжецы «исправ». Тогда путеш услышит то же самое! Действ, правдив любого жителя изм, но изм и правдив соседа, о кот он говорит. Но доля правд в этом круге = 1 — x. Таким обр, путеш не м отличить круг с долей правд жителей x от круга с долей правд жителей 1 — x. Зн, он м опр долю правдивых жит только при x = 1 — x. Но это значит, что x = 1/2.

Комм. Занум жителей числами по час стрелке и поло xi = 1, если i-й житель лжец, и xi = 0 — в прот с. Тогда i-й житель сообщит путеше xi + xi + 1, где слож происх по модулю 2 (т. е. 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0). Поэтому информ, получ путеш, м понимать как систему лин уравн над полем из 2 элементов.

2)5 чел сидят за круглым столом каждый из них гов оба мои соседа слева и справа лжецы кроме того все присуств знают явл ли лжецами их соседи сколько лжецов за столом

Источник

Adblock
detector